MATRIKS

DEFINISI MATRIKS

Metriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya.Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Bentuk Matriks

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnjjdGCIQCm6-sJByssIeNdfY65f6TBqGCsAO9Q8zdn7x881fbt0RXemfA4HRMKHk5DBBYyqYG3rIJ4ddUDZGbRgFzRJMI5ZL-acbJvvSkmuY2_-hdkbaXIiMzVx4FUaVLVqDeLwO6DfBE/s1600/bentuk+matriks.png

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjM53F_CiVU6YqqukiyvJiM3mD_LLo8T-mGGb1a2VyL7tWSrChsvwRD-F2Ubbq4W0B72tmF5WbH_15zualfTycwGVLyR933oyODXU4sYR1HkJVPyOVSL12HYkhvVYofYhA_Gk8NNEvv9Coh/s1600/penjumlahan+3.png

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

Jenis-jenis Matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTDsPKAzsaH3x8M43T-5_S0VtfKXrWmFqehKUcpX2EJFWfWmF_kwSHC9oiPmcKrSR1c0zAPKDE5sHBClxoW_cVfIZz668huOZUVN9GdxRvUQ1QB3PB6ZomAe9cmBPqVoKVCl9p1pJeyGbO/s200/mbujursangkar.png

Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )

Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

Contoh :

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contah :

Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8tWa0hM7QHsQHReVwlzQ9JQ8Z7FuIORz1H_YlwTXvZTxvxGSKwPqscBJY59_gphtDBs05mS621slXBA0FlsATmyWLSTGeQqy8RiOh2XlA1vPav65bzVH_UqC_hGJhrMXCOz3F4LSq_2kv/s320/datar.jpg

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O.

contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNGuG1mleisTyShXRwOTl-KHel9UqUiuX8sYM4pFjPLtiuyzJvUNljfq2W1BYamSzfGTHhL2TzCBE2bBZQBprW7JJBwn9o7GYv3jo2OgyW7jndITBs_kqq3eT-myPg52aRbeeRr2NCDoIE/s320/NOl.jpg

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contah :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA0jsjP57y0dtevD0Ud2JjaUJnzHHyvP0py_kFedYaWsc39BZ6qwslQ_cDtdfH0uvc2DIS2ZI60ZNxUF-ZtDOWO5D7D-yKP6HiEVPOVFZfspD4q-1p1r-VIsAPbzC_WWwd9zI-xcNHpoY_/s320/diagonal.jpg

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUi0c4W77oQ3E611EWX00_CAurOloYd6IJEgmKlRUxJLpcu2cItVMXT0aUZxZQstWWwLWWPthmz5sMZpmrPMwGx1KY8oC9NHBzdOuDfnCnC1bGKd1dmT04mYjrWGqM3zisc1qx8CVwU6p6/s320/segi.jpg

Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-R4MakAKdcLNOgAnfVahwb7Q8eieTrt97ZAyBFp7l-Ih04sHsOiRGtJDp6jJgpnZ4N4vrX47Y0FIClWsCE1Jy0wdLXuIJVyNJOfUCd01V5puTEg-4_fVg6YeR_U2tYedRwVoKX8h384bV/s320/skalar.jpg

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7TIKRUs8kHzuK58bcwHT-rF4GWbOJPZFR8iz28ne2T1g4Mx0b70GIe4Q-zKa7NboGo2dNVFgK6xp7R3nfyNtKlqZtUE7CioPK_r8Xpn5E9KVe55TKPzlH2BCVzzh3ycMyvu_8L_txad2i/s320/identitas.jpg

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilsupUWfcwgUIAZNMk0JU_4nLAmrG5zDV1TaJ0MbtPNcktYVqALQijjSVG7KlUsH6kAfei_Z078WPpHltH-8CcklaTfP3PRmgCXZaM4UAqSYj9A0vLkSckS92xR0zE-7Rzz0uoIxgCqxbE/s320/simetris.jpg

OPERASI BENTUK MATRIKS

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)

Contoh:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiE6s2YsPprbo8o4A8PBXzN_7IBCE-v-QBhXBH2s-Yh0WF6EcgSvv8HQE7CtmGY8UKOntj_ceCI4s7p0TvcqTqkeZpD4W75VVcp41w-y-MXd4MpuY_gOqxt5CtWW8Enqnzek_ILJ33jrdSq/s1600/Penjumlahan+matriks.png

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda

Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJxB3YFl3p07w3_EDVMIAAB_3WFkSPakaGB-imIhQkCRw5B_jcFtyfdKenVnPZ4cFII6L-tJNdASAeNIMjAgzUOdKfEoSKuXcvbFZmuLSo_HB0JALN9SqOLZfBFLBPRyrnG08564gvFiJI/s1600/Pengurangan+matriks.png

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij) = (ka_ij)
Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB
Contoh:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbS-98rH3az5kvwURYpHYnDxBlwoYDHEmRdldPwgrzE02v9xrInXIRSsMvuj4ex-FlQHodQNeGbiN2iwc2rIBZXB8M9PxugzMLmykzCxVbCeFbo3Xx6N5reyAeXENYQzFZdGzsdQak0K2q/s400/perkalian+matriks+dg+skalar.png

Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana

Contoh

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9JvSKHptjhlg-b3OsDFYIxRMlrA1torI5Ne7-5_tXV0aCql-UQ4pvQ0Ha4mbWBeuexeQsg-m6CSqTTyXBllJI7eupEZjlqTOH_M9hSS2SEnEFTI5B95_QbK6d9-qJqqR5QZ_AP2nCKZPy/s400/perkalian+matriks+dg+matriks.png

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

A = 0 dan B = 0
A = 0 atau B = 0
A ¹0 dan B ¹0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Inverse matriks

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan $\neq$ 0).Tidak semua matriks memiliki invers.Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Contoh 1 :

Hitung invers matriks A_2×2 berikut A = $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ .

Penyelesaian :

Jika kita punya matriks 2×2, misal A = $\left [ \begin{array}{rr}a & b\\ c & d\end{array} \right ]$ , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus

A^-1 = B = $\frac{1}{det \quad A}$ $\left [ \begin{array}{rr}d & -b\\ -c & a\end{array} \right ]$

= $\frac{1}{3(2)-5(1)}$ $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$

= $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$

Cek, apakah AB = BA = I

AB = $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right ]$ = I

BA = $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right ]$ = I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh 2 :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = $\left [\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{array} \right ]$

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = $\left [\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

Contoh 3 :

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = $\left [\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9 \end{matrix} \right ]$ .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer

baris pertama : B₁ x (1/3)

baris kedua : B₂ + (-2B₁)

baris ketiga : B₃ + 4B₁

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

Kesamaan dua matriks

TRANSPOS MATRIKS

Dalam sebuah matriks A dimana

http://nitarianti.files.wordpress.com/2011/12/matriks_13.jpg?w=140&h=88

, setiap baris dari matriks A dapat diubah menjadi kolom dan juga sebaliknya setiap kolom dari matriks A menjadi baris dari suatu matriks yang baru misalnya matriks B, maka matriks B disebut transpos dari matriks A, ditulis:

http://nitarianti.files.wordpress.com/2011/12/matriks_14.jpg?w=137&h=99

KESAMAAN DUA MATRIKS

Dalam matriks dikenal adanya kesamaan dua matriks yang didefinisikan sebagai berikut.
Dua matriks dikatakan sama jika ordo yang dimiliki keduanya sama, dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama.

Inverst matriks

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd> </dl> </dd> </dl> <span id=$ untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd> </dl> </dd> </dl> Pertama buat minor dari a11 <dl> <dd> <dl> <dd>M11 = <img src=$ – 2 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali.Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama.Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3×3

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}” /></dd> </dl> </dd> </dl> maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, <dl> <dd> <dl> <dd>det(A) = a11<img src=$ – 4 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3×3

A = $\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

$\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}$

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

$det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Contoh

$\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$ = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jikaAx = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$ dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}” /> b = <img src=$

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,…,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=E_r…E₂E₁Adan,

det(R)=det(E_r)…det(E₂)det(E₁)det(E_A)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}” />karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers. <h3>Mencari determinan dengan cara Sarrus</h3> <dl> <dd> <dl> <dd>A = <img src=$

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

det(A) = 64

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}” /> <h3>Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx</h3> dalam sistem aljabar linear sering ditemukan <pre> Ax = λx ; dimana λ adalah skalar</pre> sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi <pre> (λI - A) x = 0 </pre> contoh: diketahui persamaan linear <pre>x<span class=$ 1+3x2= λx1 4x1+2x2=λx2

dapat ditulis dalam bentuk

$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

= λ

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat diubah

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ dan x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

sehingga didapat bentuk

λI - A =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$

= 0

atau λ^2 – 3λ – 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I – A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

$\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t

Search This Blog

Welcome the Smart People!

MATRIKS

Jenis-jenis Matriks

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Adjoin Matriks 3 x 3

Determinan Matriks Segitiga Atas

Metode Cramer

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

DOKUMEN & DOKUMENTASI

MENANGANI TELEPON MASUK

1. PENGERTIAN ARSIP